ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfioo2 Unicode version

Theorem dfioo2 9125
Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfioo2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
Distinct variable group:    x, w, y

Proof of Theorem dfioo2
StepHypRef Expression
1 ioof 9122 . . 3  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5097 . . 3  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 fnovim 5660 . . 3  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  (,)  =  (
x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 8 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  ( x (,) y ) )
5 iooval2 9066 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
65mpt2eq3ia 5621 . 2  |-  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  ( x (,) y ) )  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
74, 6eqtri 2103 1  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285   {crab 2357   ~Pcpw 3400   class class class wbr 3805    X. cxp 4389    Fn wfn 4947   -->wf 4948  (class class class)co 5563    |-> cmpt2 5565   RRcr 7094   RR*cxr 7266    < clt 7267   (,)cioo 9039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-ioo 9043
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator