Theorem dfmptg 5592

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 3986 (which requires that B be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5240	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )
2		vex 2684	. . . . 5 |- x e. _V
3		xpsng 5588	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
4	2, 3	mpan 420	. . . 4 |- ( B e. V -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
5	4	ralimi 2493	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
6		iuneq2 3824	. . 3 |- ( A. x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } -> U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
8	1, 7	syl5eq 2182	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   _Vcvv 2681   {csn 3522   <.cop 3525   U_ciun 3808   |-> cmpt 3984   X. cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125

This theorem is referenced by:  fnasrng  5593