ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfmptg Unicode version

Theorem dfmptg 5395
Description: Alternate definition for the "maps to" notation df-mpt 3862 (which requires that  B be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )

Proof of Theorem dfmptg
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5073 . 2  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { B }
)
2 vex 2613 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 xpsng 5391 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( { x }  X.  { B } )  =  { <. x ,  B >. } )
42, 3mpan 415 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( { x }  X.  { B } )  =  { <. x ,  B >. } )
54ralimi 2431 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  { B } )  =  { <. x ,  B >. } )
6 iuneq2 3715 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( { x }  X.  { B } )  =  { <. x ,  B >. }  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { B }
)  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { B } )  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
81, 7syl5eq 2127 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   _Vcvv 2610   {csn 3417   <.cop 3420   U_ciun 3699    |-> cmpt 3860    X. cxp 4390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960
This theorem is referenced by:  fnasrng  5396
  Copyright terms: Public domain W3C validator