Theorem dfnfc2 3754

Description: An alternate statement of the effective freeness of a class A, when it is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfnfc2	|- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   V( x, y)

Proof of Theorem dfnfc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcvd 2282	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x y )
2		id 19	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x A )
3	1, 2	nfeqd 2296	. . 3 |- ( F/_ x A -> F/ x y = A )
4	3	alrimiv 1846	. 2 |- ( F/_ x A -> A. y F/ x y = A )
5		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> A. y F/ x y = A )
6		df-nfc 2270	. . . . . . 7 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y e. { A } )
7		velsn 3544	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { A } <-> y = A )
8	7	nfbii 1449	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y e. { A } <-> F/ x y = A )
9	8	albii 1446	. . . . . . 7 |- ( A. y F/ x y e. { A } <-> A. y F/ x y = A )
10	6, 9	bitri 183	. . . . . 6 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y = A )
11	5, 10	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x { A } )
12	11	nfunid 3743	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x U. { A } )
13		nfa1 1521	. . . . . 6 |- F/ x A. x A e. V
14		nfnf1 1523	. . . . . . 7 |- F/ x F/ x y = A
15	14	nfal 1555	. . . . . 6 |- F/ x A. y F/ x y = A
16	13, 15	nfan 1544	. . . . 5 |- F/ x ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A )
17		unisng 3753	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> U. { A } = A )
18	17	sps 1517	. . . . . 6 |- ( A. x A e. V -> U. { A } = A )
19	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> U. { A } = A )
20	16, 19	nfceqdf 2280	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> ( F/_ x U. { A } <-> F/_ x A ) )
21	12, 20	mpbid 146	. . 3 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x A )
22	21	ex 114	. 2 |- ( A. x A e. V -> ( A. y F/ x y = A -> F/_ x A ) )
23	4, 22	impbid2 142	1 |- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   F/wnf 1436   e. wcel 1480   F/_wnfc 2268   {csn 3527   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  eusv2nf  4377