Theorem dfrn2 4722

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4545	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4544	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2684	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2684	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4717	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1584	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2253	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2162	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1331   E.wex 1468   {cab 2123   class class class wbr 3924   `'ccnv 4533   dom cdm 4534   ran crn 4535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545

This theorem is referenced by:  dfrn3  4723  dfdm4  4726  dm0rn0  4751  dmmrnm  4753  dfrnf  4775  dfima2  4878  funcnv3  5180