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Theorem dfsmo2 5936
Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsmo2  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem dfsmo2
StepHypRef Expression
1 df-smo 5935 . 2  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )
2 ralcom 2518 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )
3 impexp 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( y  e. 
dom  F  ->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )
4 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
5 ordtr1 4151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  F )  ->  y  e.  dom  F ) )
653impib 1137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  y  e.  x  /\  x  e.  dom  F )  ->  y  e.  dom  F )
763com23 1145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  F
)
8 simp3 941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
97, 8jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
) )
1093expia 1141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( y  e.  x  ->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x ) ) )
114, 10impbid2 141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  <->  y  e.  x ) )
1211imbi1d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
133, 12syl5bbr 192 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( y  e.  dom  F  -> 
( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
1413ralbidv2 2371 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1514ralbidva 2365 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
162, 15syl5bb 190 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1716pm5.32i 442 . . . 4  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( Ord  dom  F  /\  A. x  e. 
dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1817anbi2i 445 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. y  e. 
dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )  <-> 
( F : dom  F --> On  /\  ( Ord 
dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
19 3anass 924 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) ) ) )
20 3anass 924 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
2118, 19, 203bitr4i 210 . 2  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
221, 21bitri 182 1  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    e. wcel 1434   A.wral 2349   Ord word 4125   Oncon0 4126   dom cdm 4371   -->wf 4928   ` cfv 4932   Smo wsmo 5934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-v 2604  df-in 2980  df-ss 2987  df-uni 3610  df-tr 3884  df-iord 4129  df-smo 5935
This theorem is referenced by:  issmo2  5938  smores2  5943  smofvon2dm  5945
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