Theorem dfss2 3081

Description: Alternate definition of the subclass relationship between two classes. Definition 5.9 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
dfss2	|- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dfss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss 3080	. . 3 |- ( A C_ B <-> A = ( A i^i B ) )
2		df-in 3072	. . . 4 |- ( A i^i B ) = { x | ( x e. A /\ x e. B ) }
3	2	eqeq2i 2148	. . 3 |- ( A = ( A i^i B ) <-> A = { x | ( x e. A /\ x e. B ) } )
4		abeq2 2246	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ x e. B ) } <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ x e. B ) ) )
5	1, 3, 4	3bitri 205	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ x e. B ) ) )
6		pm4.71 386	. . 3 |- ( ( x e. A -> x e. B ) <-> ( x e. A <-> ( x e. A /\ x e. B ) ) )
7	6	albii 1446	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> x e. B ) <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ x e. B ) ) )
8	5, 7	bitr4i 186	1 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2123   i^i cin 3065   C_ wss 3066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-in 3072  df-ss 3079

This theorem is referenced by:  dfss3  3082  dfss2f  3083  ssel  3086  ssriv  3096  ssrdv  3098  sstr2  3099  eqss  3107  nssr  3152  rabss2  3175  ssconb  3204  ssequn1  3241  unss  3245  ssin  3293  ssddif  3305  reldisj  3409  ssdif0im  3422  inssdif0im  3425  ssundifim  3441  sbcssg  3467  pwss  3521  snss  3644  snsssn  3683  ssuni  3753  unissb  3761  intss  3787  iunss  3849  dftr2  4023  axpweq  4090  axpow2  4095  ssextss  4137  ordunisuc2r  4425  setind  4449  zfregfr  4483  tfi  4491  ssrel  4622  ssrel2  4624  ssrelrel  4634  reliun  4655  relop  4684  issref  4916  funimass4  5465  isprm2  11787  bj-inf2vnlem3  13159  bj-inf2vnlem4  13160