ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dftr2 Unicode version

Theorem dftr2 3884
Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
dftr2  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem dftr2
StepHypRef Expression
1 dfss2 2962 . 2  |-  ( U. A  C_  A  <->  A. x
( x  e.  U. A  ->  x  e.  A
) )
2 df-tr 3883 . 2  |-  ( Tr  A  <->  U. A  C_  A
)
3 19.23v 1779 . . . 4  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
4 eluni 3611 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
54imbi1i 231 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  ->  x  e.  A )  <-> 
( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
63, 5bitr4i 180 . . 3  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  ( x  e.  U. A  ->  x  e.  A ) )
76albii 1375 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  A. x ( x  e. 
U. A  ->  x  e.  A ) )
81, 2, 73bitr4i 205 1  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   A.wal 1257   E.wex 1397    e. wcel 1409    C_ wss 2945   U.cuni 3608   Tr wtr 3882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-in 2952  df-ss 2959  df-uni 3609  df-tr 3883
This theorem is referenced by:  dftr5  3885  trel  3889  suctr  4186  ordtriexmidlem  4273  ordtri2or2exmidlem  4279  onsucelsucexmidlem  4282  ordsuc  4315  tfi  4333  ordom  4357
  Copyright terms: Public domain W3C validator