ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfz2 Unicode version

Theorem dfz2 8490
Description: Alternate definition of the integers, based on elz2 8489. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfz2  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )

Proof of Theorem dfz2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 8489 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  x  =  ( y  -  z ) )
2 subf 7366 . . . . 5  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 ffn 5071 . . . . 5  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
42, 3ax-mp 7 . . . 4  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
5 nnsscn 8100 . . . . 5  |-  NN  C_  CC
6 xpss12 4467 . . . . 5  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  NN  C_  CC )  ->  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )
75, 5, 6mp2an 417 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC )
8 ovelimab 5676 . . . 4  |-  ( (  -  Fn  ( CC 
X.  CC )  /\  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
x  e.  (  -  " ( NN  X.  NN ) )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  x  =  ( y  -  z ) ) )
94, 7, 8mp2an 417 . . 3  |-  ( x  e.  (  -  "
( NN  X.  NN ) )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  x  =  ( y  -  z ) )
101, 9bitr4i 185 . 2  |-  ( x  e.  ZZ  <->  x  e.  (  -  " ( NN  X.  NN ) ) )
1110eqriv 2079 1  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350    C_ wss 2974    X. cxp 4363   "cima 4368    Fn wfn 4921   -->wf 4922  (class class class)co 5537   CCcc 7030    - cmin 7335   NNcn 8095   ZZcz 8421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator