ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diffifi Unicode version

Theorem diffifi 6382
Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffifi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffifi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 916 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
2 simp1 915 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
3 simp3 917 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
4 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
54anbi2d 445 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A
) ) )
6 difeq2 3084 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A 
\  w )  =  ( A  \  (/) ) )
76eleq1d 2122 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  \  w )  e.  Fin  <->  ( A  \  (/) )  e.  Fin ) )
85, 7imbi12d 227 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  ->  ( A  \  w
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A )  -> 
( A  \  (/) )  e. 
Fin ) ) )
9 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  A  <->  y  C_  A ) )
109anbi2d 445 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  y  C_  A ) ) )
11 difeq2 3084 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  y
) )
1211eleq1d 2122 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
1310, 12imbi12d 227 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  w  C_  A
)  ->  ( A  \  w )  e.  Fin ) 
<->  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) ) )
14 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1514anbi2d 445 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
) )
16 difeq2 3084 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  ( y  u.  { z } ) ) )
1716eleq1d 2122 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A 
\  w )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) )
1815, 17imbi12d 227 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  -> 
( A  \  w
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( A  \  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  Fin )
) )
19 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  A  <->  B  C_  A
) )
2019anbi2d 445 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  e.  Fin  /\  w  C_  A )  <->  ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A ) ) )
21 difeq2 3084 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  B
) )
2221eleq1d 2122 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  <->  ( A  \  B )  e.  Fin ) )
2320, 22imbi12d 227 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  w  C_  A
)  ->  ( A  \  w )  e.  Fin ) 
<->  ( ( A  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  ( A  \  B )  e.  Fin ) ) )
24 dif0 3322 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
2524eleq1i 2119 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  (/) )  e. 
Fin 
<->  A  e.  Fin )
2625biimpri 128 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  (/) )  e.  Fin )
2726adantr 265 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  (/)  C_  A )  ->  ( A  \  (/) )  e.  Fin )
28 difun1 3225 . . . . . 6  |-  ( A 
\  ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( ( A  \  y ) 
\  { z } )
29 simprl 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  A  e.  Fin )
30 simprr 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )
3130unssad 3148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  y  C_  A )
32 simplr 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )
3329, 31, 32mp2and 417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( A  \  y )  e.  Fin )
34 vsnid 3431 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
{ z }
35 simprr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
3635unssbd 3149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  { z }  C_  A )
3736sseld 2972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( z  e.  {
z }  ->  z  e.  A ) )
3834, 37mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( A  e. 
Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
3938adantllr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  A )
40 simpllr 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  -.  z  e.  y )
4139, 40eldifd 2956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
42 diffisn 6381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  z  e.  ( A  \  y ) )  -> 
( ( A  \ 
y )  \  {
z } )  e. 
Fin )
4333, 41, 42syl2anc 397 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( A  \  y )  \  { z } )  e.  Fin )
4428, 43syl5eqel 2140 . . . . 5  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)  /\  ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( A  \  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
4544exp31 350 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A  e.  Fin  /\  y  C_  A )  ->  ( A  \  y
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )  -> 
( A  \  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) ) )
468, 13, 18, 23, 27, 45findcard2s 6378 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B
)  e.  Fin )
)
4746imp 119 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )
)  ->  ( A  \  B )  e.  Fin )
481, 2, 3, 47syl12anc 1144 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409    \ cdif 2942    u. cun 2943    C_ wss 2945   (/)c0 3252   {csn 3403   Fincfn 6252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-er 6137  df-en 6253  df-fin 6255
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator