Theorem difopab 4672

Description: The difference of two ordered-pair abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
difopab	|- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem difopab

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4666	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		reldif 4659	. . 3 |- ( Rel { <. x , y >. | ph } -> Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } )
4		relopab 4666	. 2 |- Rel { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }
5		sbcan 2951	. . . 4 |- ( [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
6		sbcan 2951	. . . . 5 |- ( [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
7	6	sbcbii 2968	. . . 4 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
8		opelopabsb 4182	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ph )
9		vex 2689	. . . . . . 7 |- z e. _V
10		sbcng 2949	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
12		vex 2689	. . . . . . . 8 |- w e. _V
13		sbcng 2949	. . . . . . . 8 |- ( w e. _V -> ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps )
15	14	sbcbii 2968	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps <-> [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps )
16		opelopabsb 4182	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
17	16	notbii 657	. . . . . 6 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
18	11, 15, 17	3bitr4ri 212	. . . . 5 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps )
19	8, 18	anbi12i 455	. . . 4 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
20	5, 7, 19	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
21		eldif 3080	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
22		opelopabsb 4182	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
23	20, 21, 22	3bitr4i 211	. 2 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } )
24	3, 4, 23	eqrelriiv 4633	1 |- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   [.wsbc 2909   \ cdif 3068   <.cop 3530   {copab 3988   Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546

This theorem is referenced by: (None)