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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > distrlem4pru | Unicode version |
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.) |
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distrlem4pru |
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1 | ltmnqg 6723 |
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2 | 1 | adantl 271 |
. . . . . 6
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3 | simp1 939 |
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4 | simpll 496 |
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5 | prop 6797 |
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6 | elprnqu 6804 |
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7 | 5, 6 | sylan 277 |
. . . . . . 7
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8 | 3, 4, 7 | syl2an 283 |
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9 | simprl 498 |
. . . . . . 7
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10 | elprnqu 6804 |
. . . . . . . 8
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11 | 5, 10 | sylan 277 |
. . . . . . 7
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12 | 3, 9, 11 | syl2an 283 |
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13 | simpl3 944 |
. . . . . . 7
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14 | simprrr 507 |
. . . . . . 7
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15 | prop 6797 |
. . . . . . . 8
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16 | elprnqu 6804 |
. . . . . . . 8
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17 | 15, 16 | sylan 277 |
. . . . . . 7
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18 | 13, 14, 17 | syl2anc 403 |
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19 | mulcomnqg 6705 |
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20 | 19 | adantl 271 |
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21 | 2, 8, 12, 18, 20 | caovord2d 5722 |
. . . . 5
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22 | mulclnq 6698 |
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23 | 8, 18, 22 | syl2anc 403 |
. . . . . 6
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. . . . . . 7
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25 | 12, 18, 24 | syl2anc 403 |
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26 | simpl2 943 |
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28 | prop 6797 |
. . . . . . . . 9
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30 | 28, 29 | sylan 277 |
. . . . . . . 8
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33 | 8, 31, 32 | syl2anc 403 |
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34 | ltanqg 6722 |
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35 | 23, 25, 33, 34 | syl3anc 1170 |
. . . . 5
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36 | 21, 35 | bitrd 186 |
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37 | simpl1 942 |
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38 | addclpr 6859 |
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41 | mulclpr 6894 |
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42 | 37, 40, 41 | syl2anc 403 |
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43 | distrnqg 6709 |
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44 | 8, 31, 18, 43 | syl3anc 1170 |
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56 | 44, 55 | eqeltrrd 2160 |
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62 | 2, 12, 8, 31, 20 | caovord2d 5722 |
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69 | 64, 66, 33, 25, 68 | caovord2d 5722 |
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79 | 57, 78 | sylan 277 |
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80 | 42, 77, 79 | syl2anc 403 |
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81 | 70, 80 | sylbid 148 |
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82 | 61, 81 | jaod 670 |
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83 | ltsonq 6720 |
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84 | nqtri3or 6718 |
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85 | 83, 84 | sotritrieq 4108 |
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86 | 8, 12, 85 | syl2anc 403 |
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87 | oveq1 5571 |
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88 | 87 | oveq2d 5580 |
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89 | 44, 88 | sylan9eq 2135 |
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90 | 55 | adantr 270 |
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91 | 89, 90 | eqeltrrd 2160 |
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92 | 91 | ex 113 |
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93 | 86, 92 | sylbird 168 |
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94 | ltdcnq 6719 |
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95 | ltdcnq 6719 |
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96 | 95 | ancoms 264 |
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97 | dcor 877 |
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98 | 94, 96, 97 | sylc 61 |
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99 | 8, 12, 98 | syl2anc 403 |
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100 | df-dc 777 |
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101 | 99, 100 | sylib 120 |
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102 | 82, 93, 101 | mpjaod 671 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3913 ax-sep 3916 ax-nul 3924 ax-pow 3968 ax-pr 3992 ax-un 4216 ax-setind 4308 ax-iinf 4357 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rab 2362 df-v 2612 df-sbc 2825 df-csb 2918 df-dif 2984 df-un 2986 df-in 2988 df-ss 2995 df-nul 3268 df-pw 3402 df-sn 3422 df-pr 3423 df-op 3425 df-uni 3622 df-int 3657 df-iun 3700 df-br 3806 df-opab 3860 df-mpt 3861 df-tr 3896 df-eprel 4072 df-id 4076 df-po 4079 df-iso 4080 df-iord 4149 df-on 4151 df-suc 4154 df-iom 4360 df-xp 4397 df-rel 4398 df-cnv 4399 df-co 4400 df-dm 4401 df-rn 4402 df-res 4403 df-ima 4404 df-iota 4917 df-fun 4954 df-fn 4955 df-f 4956 df-f1 4957 df-fo 4958 df-f1o 4959 df-fv 4960 df-ov 5567 df-oprab 5568 df-mpt2 5569 df-1st 5819 df-2nd 5820 df-recs 5975 df-irdg 6040 df-1o 6086 df-2o 6087 df-oadd 6090 df-omul 6091 df-er 6194 df-ec 6196 df-qs 6200 df-ni 6626 df-pli 6627 df-mi 6628 df-lti 6629 df-plpq 6666 df-mpq 6667 df-enq 6669 df-nqqs 6670 df-plqqs 6671 df-mqqs 6672 df-1nqqs 6673 df-rq 6674 df-ltnqqs 6675 df-enq0 6746 df-nq0 6747 df-0nq0 6748 df-plq0 6749 df-mq0 6750 df-inp 6788 df-iplp 6790 df-imp 6791 |
This theorem is referenced by: distrlem5pru 6909 |
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