ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg Unicode version

Theorem distrnqg 6543
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( B  +Q  C ) )  =  ( ( A  .Q  B )  +Q  ( A  .Q  C ) ) )

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables  u  v  w  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 addpipqqs 6526 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
3 mulpipqqs 6529 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
4 mulclpi 6484 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  ->  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N. )
5 simpl 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  y  e.  N. )
6 mulclpi 6484 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
75, 6jca 294 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)
84, 7anim12i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  (
y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
) )
9 an12 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  (
y  .N  ( w  .N  u ) )  e.  N. ) ) )
10 3anass 900 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )  <->  ( y  e.  N.  /\  ( ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
) )
119, 10bitr4i 180 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
)
128, 11sylib 131 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  e. 
N.  /\  ( y  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. ) )
1312an4s 530 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  e. 
N.  /\  ( y  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. ) )
14 mulcanenqec 6542 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )  ->  [ <. ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) >. ]  ~Q  )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  [ <. (
y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) ) >. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u ) )
>. ]  ~Q  )
163, 15eqtr4d 2091 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) ) >. ]  ~Q  )
17 mulpipqqs 6529 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  z ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  )
18 mulpipqqs 6529 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  .Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  v ) ,  ( y  .N  u ) >. ]  ~Q  )
19 addpipqqs 6526 . 2  |-  ( ( ( ( x  .N  z )  e.  N.  /\  ( y  .N  w
)  e.  N. )  /\  ( ( x  .N  v )  e.  N.  /\  ( y  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( x  .N  z
) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  +Q  [ <. ( x  .N  v ) ,  ( y  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) ,  ( ( y  .N  w )  .N  ( y  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
20 mulclpi 6484 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  e.  N. )
21 mulclpi 6484 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  e.  N. )
22 addclpi 6483 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
2320, 21, 22syl2an 277 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
2423an42s 531 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
25 mulclpi 6484 . . . 4  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
2625ad2ant2l 485 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
2724, 26jca 294 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. ) )
28 mulclpi 6484 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  .N  z
)  e.  N. )
29 mulclpi 6484 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
3028, 29anim12i 325 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  z )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
3130an4s 530 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  z )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
32 mulclpi 6484 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( x  .N  v
)  e.  N. )
33 mulclpi 6484 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .N  u
)  e.  N. )
3432, 33anim12i 325 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  v )  e.  N.  /\  (
y  .N  u )  e.  N. ) )
3534an4s 530 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  v )  e.  N.  /\  (
y  .N  u )  e.  N. ) )
36 an42 529 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
3736anbi2i 438 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )  <->  ( (
x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
38 3anass 900 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) ) )
39 3anass 900 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
4037, 38, 393bitr4i 205 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
41 mulclpi 6484 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( y  .N  x
)  e.  N. )
4241ancoms 259 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  .N  x
)  e.  N. )
43 distrpig 6489 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .N  x
)  e.  N.  /\  ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  x )  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( ( ( y  .N  x
)  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  x )  .N  ( w  .N  v
) ) ) )
4442, 20, 21, 43syl3an 1188 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( ( y  .N  x )  .N  ( z  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  x
)  .N  ( w  .N  v ) ) ) )
45 simp1r 940 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
46 simp1l 939 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
47203ad2ant2 937 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
48213ad2ant3 938 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
4947, 48, 22syl2anc 397 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
50 mulasspig 6488 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N.  /\  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N. )  -> 
( ( y  .N  x )  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( y  .N  ( x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) ) )
5145, 46, 49, 50syl3anc 1146 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( y  .N  (
x  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
52 mulcompig 6487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
5352oveq1d 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  y )  .N  (
z  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) ) )
5453adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  x )  .N  (
z  .N  u ) ) )
55 simpll 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
56 simplr 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
57 simprl 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
58 mulcompig 6487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
5958adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
60 mulasspig 6488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6160adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
62 simprr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
63 mulclpi 6484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
6463adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
6654, 65eqtr3d 2090 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
67663adant3 935 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( z  .N  u ) )  =  ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) ) )
68 simplr 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
69 simpll 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
70 simprl 491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
7158adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
7260adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
73 simprr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
7463adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5713 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
x  .N  v ) ) )
76753adant2 934 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  x )  .N  ( w  .N  v ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
x  .N  v ) ) )
7767, 76oveq12d 5558 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
( y  .N  x
)  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  x )  .N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  ( y  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  w
)  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
7844, 51, 773eqtr3d 2096 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
7940, 78sylbir 129 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( x  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .N  z )  .N  (
y  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  ( x  .N  v ) ) ) )
80703adant2 934 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
81623adant3 935 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
8280, 81, 25syl2anc 397 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
83 mulasspig 6488 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. )  -> 
( ( y  .N  y )  .N  (
w  .N  u ) )  =  ( y  .N  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) ) )
8445, 45, 82, 83syl3anc 1146 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  y )  .N  ( w  .N  u ) )  =  ( y  .N  (
y  .N  ( w  .N  u ) ) ) )
8558adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
8660adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
8763adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5713 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  y )  .N  ( w  .N  u ) )  =  ( ( y  .N  w )  .N  (
y  .N  u ) ) )
8984, 88eqtr3d 2090 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )  =  ( ( y  .N  w
)  .N  ( y  .N  u ) ) )
9040, 89sylbir 129 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )  =  ( ( y  .N  w
)  .N  ( y  .N  u ) ) )
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6249 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( B  +Q  C ) )  =  ( ( A  .Q  B )  +Q  ( A  .Q  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   <.cop 3406  (class class class)co 5540   [cec 6135   N.cnpi 6428    +N cpli 6429    .N cmi 6430    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    .Q cmq 6439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6563  halfnqq  6566  addnqprl  6685  addnqpru  6686  prmuloclemcalc  6721  distrlem1prl  6738  distrlem1pru  6739  distrlem4prl  6740  distrlem4pru  6741
  Copyright terms: Public domain W3C validator