ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  div0ap Unicode version

Theorem div0ap 7909
Description: Division into zero is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
div0ap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
0  /  A )  =  0 )

Proof of Theorem div0ap
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  A  e.  CC )
21mul01d 7616 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
3 0cn 7225 . . 3  |-  0  e.  CC
4 divmulap 7882 . . 3  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A #  0 ) )  -> 
( ( 0  /  A )  =  0  <-> 
( A  x.  0 )  =  0 ) )
53, 3, 4mp3an12 1259 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
( 0  /  A
)  =  0  <->  ( A  x.  0 )  =  0 ) )
62, 5mpbird 165 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  (
0  /  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095    x. cmul 7100   # cap 7800    / cdiv 7879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880
This theorem is referenced by:  div0api  7953  div0apd  7994  gt0div  8067  ge0div  8068  nn0ledivnn  8971
  Copyright terms: Public domain W3C validator