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Theorem divalgb 11549
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 11548 in terms of  ||. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 zsubcl 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( N  -  r
)  e.  ZZ )
2 divides 11422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  r
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
31, 2sylan2 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
433impb 1162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
543com12 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
6 zcn 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 zcn 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  ZZ  ->  r  e.  CC )
8 zmulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  ZZ )
98zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  CC )
10 subadd 7933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  CC  /\  r  e.  CC  /\  (
q  x.  D )  e.  CC )  -> 
( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <-> 
( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
116, 7, 9, 10syl3an 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
12 addcom 7867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  CC  /\  ( q  x.  D
)  e.  CC )  ->  ( r  +  ( q  x.  D
) )  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )
137, 9, 12syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
14133adant1 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1514eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
r  +  ( q  x.  D ) )  =  N  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
1611, 15bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
17 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) )
18 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  x.  D
)  +  r )  =  N  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1916, 17, 183bitr3g 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
20193expia 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2120expcomd 1402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  e.  ZZ  ->  ( q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <-> 
N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) ) )
22213impia 1163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2322imp 123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  q  e.  ZZ )  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r
)  <->  N  =  (
( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2423rexbidva 2411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
25243com23 1172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
265, 25bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2726anbi2d 459 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  (
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
28 df-3an 949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
2928rexbii 2419 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
30 r19.42v 2565 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )  <-> 
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
3129, 30bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
3227, 31syl6rbbr 198 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
33 anass 398 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
3432, 33syl6bb 195 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) ) )
35343expa 1166 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  ( 0  <_ 
r  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) ) )
3635reubidva 2590 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
37 elnn0z 9035 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  NN0  <->  ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r ) )
3837anbi1i 453 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r )  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
39 anass 398 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_  r )  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4038, 39bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4140eubii 1986 . . . 4  |-  ( E! r ( r  e. 
NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) )  <->  E! r
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
42 df-reu 2400 . . . 4  |-  ( E! r  e.  NN0  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  E! r
( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
43 df-reu 2400 . . . 4  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r ( r  e.  ZZ  /\  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4441, 42, 433bitr4ri 212 . . 3  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )
4536, 44syl6bb 195 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
46453adant3 986 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   E!weu 1977    =/= wne 2285   E.wrex 2394   E!wreu 2395   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   abscabs 10737    || cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  divalg2  11550
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