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Theorem divalglemeunn 10465
Description: Lemma for divalg 10468. Uniqueness for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
divalglemeunn  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalglemeunn
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglemnn 10462 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
2 nfv 1462 . . . . . 6  |-  F/ q ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)
3 nfre1 2408 . . . . . . 7  |-  F/ q E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
4 nfv 1462 . . . . . . 7  |-  F/ q  r  =  s
53, 4nfim 1505 . . . . . 6  |-  F/ q ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s )
6 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  t  ->  (
q  x.  D )  =  ( t  x.  D ) )
76oveq1d 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  t  ->  (
( q  x.  D
)  +  s )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
87eqeq2d 2093 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  t  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  s )  <->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )
983anbi3d 1250 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  t  ->  (
( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) ) )
109cbvrexv 2579 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  <->  E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )
11 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  q  <  t )
12 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  NN )
1312ad4antr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  NN )
14 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  r  e.  ZZ )
1514ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  e.  ZZ )
16 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  s  e.  ZZ )
1716ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
18 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  ->  q  e.  ZZ )
1918ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  q  e.  ZZ )
20 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
21 simpr1 945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  s )
22 simpr2 946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
r  <  ( abs `  D ) )
2322ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  <  ( abs `  D
) )
2413nnred 8119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  RR )
2513nnnn0d 8408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
2625nn0ge0d 8411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  D )
2724, 26absidd 10191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  ( abs `  D )  =  D )
2823, 27breqtrd 3817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  <  D )
29 simpr3 947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  ->  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )
3029ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
31 simpr3 947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
3230, 31eqtr3d 2116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
( q  x.  D
)  +  r )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
3313, 15, 17, 19, 20, 21, 28, 32divalglemnqt 10464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  -.  q  <  t )
3433adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  -.  q  <  t )
3511, 34pm2.21dd 583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  <  t
)  ->  r  =  s )
3613adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  D  e.  NN )
3736nnzd 8549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  D  e.  ZZ )
3815adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  e.  ZZ )
3917adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  s  e.  ZZ )
4019adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  e.  ZZ )
4120adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  t  e.  ZZ )
42 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  q  =  t )
4332adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) )
4437, 38, 39, 40, 41, 42, 43divalglemqt 10463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  q  =  t )  ->  r  =  s )
45 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  t  <  q )
46 simpr1 945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
0  <_  r )
4746ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  0  <_  r )
48 simpr2 946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  <  ( abs `  D
) )
4948, 27breqtrd 3817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  s  <  D )
5031, 30eqtr3d 2116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
( t  x.  D
)  +  s )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
5113, 17, 15, 20, 19, 47, 49, 50divalglemnqt 10464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  -.  t  <  q )
5251adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  -.  t  <  q )
5345, 52pm2.21dd 583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D )  +  s ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  r  =  s )
54 ztri3or 8475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( q  <  t  \/  q  =  t  \/  t  <  q ) )
5519, 20, 54syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  (
q  <  t  \/  q  =  t  \/  t  <  q ) )
5635, 44, 53, 55mpjao3dan 1239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s )
5756ex 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
5857rexlimdva 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. t  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( t  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
5910, 58syl5bi 150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )
)  /\  q  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )  -> 
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) )  ->  r  =  s ) )
6059exp31 356 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( q  e.  ZZ  ->  ( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  ->  r  =  s ) ) ) )
612, 5, 60rexlimd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  ->  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )  ->  r  =  s ) ) )
6261impd 251 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s ) )
6362ralrimivva 2444 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  (
( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) )  ->  r  =  s ) )
64 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
0  <_  r  <->  0  <_  s ) )
65 breq1 3796 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  (
r  <  ( abs `  D )  <->  s  <  ( abs `  D ) ) )
66 oveq2 5551 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  (
( q  x.  D
)  +  r )  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) )
6766eqeq2d 2093 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  ( N  =  ( (
q  x.  D )  +  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )
6864, 65, 673anbi123d 1244 . . . . 5  |-  ( r  =  s  ->  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) ) )
6968rexbidv 2370 . . . 4  |-  ( r  =  s  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
s  /\  s  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  s ) ) ) )
7069rmo4 2786 . . 3  |-  ( E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  A. r  e.  ZZ  A. s  e.  ZZ  ( ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  /\  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  s  /\  s  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  s ) ) )  -> 
r  =  s ) )
7163, 70sylibr 132 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
72 reu5 2567 . 2  |-  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( E. r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  /\  E* r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) ) )
731, 71, 72sylanbrc 408 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ w3o 919    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   E!wreu 2351   E*wrmo 2352   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   0cc0 7043    + caddc 7046    x. cmul 7048    < clt 7215    <_ cle 7216   NNcn 8106   ZZcz 8432   abscabs 10021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-rp 8816  df-fl 9352  df-mod 9405  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-cj 9867  df-re 9868  df-im 9869  df-rsqrt 10022  df-abs 10023
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