Theorem divalglemqt 11616

Description: Lemma for divalg 11621. The Q = T case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemqt.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
divalglemqt.r	|- ( ph -> R e. ZZ )
divalglemqt.s	|- ( ph -> S e. ZZ )
divalglemqt.q	|- ( ph -> Q e. ZZ )
divalglemqt.t	|- ( ph -> T e. ZZ )
divalglemqt.qt	|- ( ph -> Q = T )
divalglemqt.eq	|- ( ph -> ( ( Q x. D ) + R ) = ( ( T x. D ) + S ) )

Assertion

Ref	Expression
divalglemqt	|- ( ph -> R = S )

Proof of Theorem divalglemqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemqt.qt	. . . 4 |- ( ph -> Q = T )
2	1	oveq1d 5789	. . 3 |- ( ph -> ( Q x. D ) = ( T x. D ) )
3		divalglemqt.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ZZ )
4		divalglemqt.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ZZ )
5	3, 4	zmulcld 9179	. . . 4 |- ( ph -> ( Q x. D ) e. ZZ )
6	5	zcnd 9174	. . 3 |- ( ph -> ( Q x. D ) e. CC )
7	2, 6	eqeltrrd 2217	. 2 |- ( ph -> ( T x. D ) e. CC )
8		divalglemqt.r	. . 3 |- ( ph -> R e. ZZ )
9	8	zcnd 9174	. 2 |- ( ph -> R e. CC )
10		divalglemqt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. ZZ )
11	10	zcnd 9174	. 2 |- ( ph -> S e. CC )
12	2	oveq1d 5789	. . 3 |- ( ph -> ( ( Q x. D ) + R ) = ( ( T x. D ) + R ) )
13		divalglemqt.eq	. . 3 |- ( ph -> ( ( Q x. D ) + R ) = ( ( T x. D ) + S ) )
14	12, 13	eqtr3d 2174	. 2 |- ( ph -> ( ( T x. D ) + R ) = ( ( T x. D ) + S ) )
15	7, 9, 11, 14	addcanad 7948	1 |- ( ph -> R = S )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7618   + caddc 7623   x. cmul 7625   ZZcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11618  divalglemeuneg  11620