ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdenle Unicode version

Theorem divdenle 11802
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )

Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 11801 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( A  /  B ) )  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) )  /\  (denom `  ( A  /  B
) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
21simprd 113 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )
3 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4 nnz 9041 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
54adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
6 nnne0 8716 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
76neneqd 2306 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  B  =  0 )
87adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  B  =  0 )
98intnand 901 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
10 gcdn0cl 11578 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
113, 5, 9, 10syl21anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN )
1211nnge1d 8731 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  ( A  gcd  B ) )
13 1red 7749 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
14 0lt1 7857 . . . . . 6  |-  0  <  1
1514a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  1 )
1611nnred 8701 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
1711nngt0d 8732 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  gcd  B ) )
18 nnre 8695 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1918adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
20 nngt0 8713 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
2120adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
22 lediv2 8617 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  gcd  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  gcd  B
) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2313, 15, 16, 17, 19, 21, 22syl222anc 1217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2412, 23mpbid 146 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  / 
1 ) )
25 nncn 8696 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
2625adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
2726div1d 8508 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  1
)  =  B )
2824, 27breqtrd 3924 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  B )
292, 28eqbrtrd 3920 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    < clt 7768    <_ cle 7769    / cdiv 8400   NNcn 8688   ZZcz 9022    gcd cgcd 11562  numercnumer 11786  denomcdenom 11787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-gcd 11563  df-numer 11788  df-denom 11789
This theorem is referenced by:  qden1elz  11810
  Copyright terms: Public domain W3C validator