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Theorem divgcdcoprm0 10674
Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divgcdcoprm0  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 )

Proof of Theorem divgcdcoprm0
Dummy variables  a  b  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcddvds 10546 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
213adant3 959 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
3 gcdcl 10549 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
43nn0zd 8584 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
5 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
64, 5jca 300 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )
)
763adant3 959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )
)
8 divides 10389 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
10 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
114, 10jca 300 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )
)
12113adant3 959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )
)
13 divides 10389 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
1412, 13syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
159, 14anbi12d 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B )  <->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  E. b  e.  ZZ  (
b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) ) )
16 bezout 10591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) ) )
17163adant3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) ) )
18 oveq1 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  =  ( A  x.  m
) )
19 oveq1 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n )  =  ( B  x.  n
) )
2018, 19oveqan12rd 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n
) ) )
2120eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m
)  +  ( B  x.  n ) ) ) )
2221bicomd 139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) ) ) )
23 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
2423zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
2524adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  CC )
263nn0cnd 8446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  CC )
27263adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
2827ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  CC )
29 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
3029zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  CC )
3130ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  CC )
3225, 28, 31mul32d 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  m
)  =  ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
33 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  ZZ )
3433zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
3534adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  CC )
36 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
3736zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
3837ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
3935, 28, 38mul32d 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
)  =  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4032, 39oveq12d 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) )  =  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
4140eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
4223adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  ZZ )
4329ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
4442, 43zmulcld 8592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  x.  m
)  e.  ZZ )
4543adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
4645ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
4744, 46zmulcld 8592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
4833adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  ZZ )
4936ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
5048, 49zmulcld 8592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  x.  n
)  e.  ZZ )
5133adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e. 
NN0 )
5251ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
5352nn0zd 8584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
5450, 53zmulcld 8592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
5547, 54zaddcld 8590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  ZZ )
5655zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  CC )
57 gcd2n0cl 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
58 nncn 8150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
59 nnap0 8171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B ) #  0 )
6058, 59jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
6157, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
6261ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
63 div11ap 7891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  CC  /\  ( ( A  gcd  B )  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( A  gcd  B
)  =  ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
6428, 56, 62, 63syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( A  gcd  B
)  =  ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
65 dividap 7892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1 )
6662, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  /  ( A  gcd  B ) )  =  1 )
6747zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC )
6854zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC )
69 divdirap 7888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC  /\  (
( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7067, 68, 62, 69syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7144zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  x.  m
)  e.  CC )
7251nn0cnd 8446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
7372ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  CC )
7462simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
) #  0 )
7571, 73, 74divcanap4d 7986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( a  x.  m ) )
7650zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  x.  n
)  e.  CC )
7776, 28, 74divcanap4d 7986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( b  x.  n ) )
7875, 77oveq12d 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) )
7970, 78eqtrd 2115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) ) )
8066, 79eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
8141, 64, 803bitr2d 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
8222, 81sylan9bbr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
83 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  <->  ( (
a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  =  1 )
84 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )
8584anim1i 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )
8685ancomd 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
) )
87 bezoutr1 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  =  1  ->  ( a  gcd  b )  =  1 ) )
8886, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  =  1  ->  ( a  gcd  b )  =  1 ) )
8988adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  =  1  -> 
( a  gcd  b
)  =  1 ) )
9083, 89syl5bi 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  -> 
( a  gcd  b
)  =  1 ) )
91 simpll1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
9291zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
93 divmulap3 7868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  a  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  =  a  <-> 
A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
9492, 25, 62, 93syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  =  a  <-> 
A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
95 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) )  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  a )
96 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  <->  A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) )
9794, 95, 963bitr4g 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A ) )
9897biimprd 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  ->  a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
9998a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
10099imp32 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  a  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) ) )
101 simp2 940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ZZ )
102101zcnd 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
103102ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
104 divmulap3 7868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CC  /\  b  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  b  <-> 
B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
105103, 35, 62, 104syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  b  <-> 
B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
106 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  b )
107 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  <->  B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) )
108105, 106, 1073bitr4g 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) )
109108biimprd 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
110109a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
111110imp32 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  b  =  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )
112100, 111oveq12d 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
a  gcd  b )  =  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
113112eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( a  gcd  b
)  =  1  <->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) )
11490, 113sylibd 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
11582, 114sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
116115exp32 357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
117116com34 82 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) ) )
118117com23 77 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
119118ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
120119com23 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
121120rexlimdvva 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
12217, 121mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
123122impl 372 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) )
124123rexlimdva 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) )
125124com23 77 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) )
126125rexlimdva 2482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) )
127126impd 251 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
12815, 127sylbid 148 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
1292, 128mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   E.wrex 2354   class class class wbr 3806  (class class class)co 5564   CCcc 7077   0cc0 7079   1c1 7080    + caddc 7082    x. cmul 7084   # cap 7784    / cdiv 7863   NNcn 8142   NN0cn0 8391   ZZcz 8468    || cdvds 10387    gcd cgcd 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-sup 6492  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-q 8822  df-rp 8852  df-fz 9142  df-fzo 9266  df-fl 9388  df-mod 9441  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070  df-dvds 10388  df-gcd 10530
This theorem is referenced by:  divgcdcoprmex  10675
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