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Theorem divgcdcoprm0 11709
Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divgcdcoprm0  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 )

Proof of Theorem divgcdcoprm0
Dummy variables  a  b  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcddvds 11579 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
213adant3 986 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
3 gcdcl 11582 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
43nn0zd 9139 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
5 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
64, 5jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )
)
763adant3 986 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )
)
8 divides 11422 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
10 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
114, 10jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )
)
12113adant3 986 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )
)
13 divides 11422 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
1412, 13syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
159, 14anbi12d 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B )  <->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  E. b  e.  ZZ  (
b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) ) )
16 bezout 11626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) ) )
17163adant3 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) ) )
18 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  =  ( A  x.  m
) )
19 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n )  =  ( B  x.  n
) )
2018, 19oveqan12rd 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n
) ) )
2120eqeq2d 2129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m
)  +  ( B  x.  n ) ) ) )
2221bicomd 140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  /\  (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) ) ) )
23 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
2423zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
2524adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  CC )
263nn0cnd 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  CC )
27263adant3 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
2827ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  CC )
29 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
3029zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  CC )
3130ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  CC )
3225, 28, 31mul32d 7883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  m
)  =  ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  ZZ )
3433zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
3534adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  CC )
36 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
3736zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
3837ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
3935, 28, 38mul32d 7883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
)  =  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4032, 39oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m
)  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  n ) )  =  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
4140eqeq2d 2129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
4223adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  ZZ )
4329ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
4442, 43zmulcld 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  x.  m
)  e.  ZZ )
4543adant3 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
4645ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
4744, 46zmulcld 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
4833adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  ZZ )
4936ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
5048, 49zmulcld 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  x.  n
)  e.  ZZ )
5133adant3 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e. 
NN0 )
5251ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
5352nn0zd 9139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
5450, 53zmulcld 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
5547, 54zaddcld 9145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  ZZ )
5655zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  CC )
57 gcd2n0cl 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
58 nncn 8696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
59 nnap0 8717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B ) #  0 )
6058, 59jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
6157, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
6261ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )
63 div11ap 8428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  e.  CC  /\  ( ( A  gcd  B )  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( A  gcd  B
)  =  ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
6428, 56, 62, 63syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( A  gcd  B
)  =  ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) ) ) ) )
65 dividap 8429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1 )
6662, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  /  ( A  gcd  B ) )  =  1 )
6747zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC )
6854zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC )
69 divdirap 8425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC  /\  (
( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) )  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7067, 68, 62, 69syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( ( a  x.  m
)  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7144zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  x.  m
)  e.  CC )
7251nn0cnd 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
7372ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  CC )
7462simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
) #  0 )
7571, 73, 74divcanap4d 8524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( a  x.  m ) )
7650zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  x.  n
)  e.  CC )
7776, 28, 74divcanap4d 8524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B
) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( b  x.  n ) )
7875, 77oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( ( b  x.  n )  x.  ( A  gcd  B ) )  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) )
7970, 78eqtrd 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) ) )
8066, 79eqeq12d 2132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( ( ( a  x.  m )  x.  ( A  gcd  B
) )  +  ( ( b  x.  n
)  x.  ( A  gcd  B ) ) )  /  ( A  gcd  B ) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
8141, 64, 803bitr2d 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  m )  +  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  n
) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
8222, 81sylan9bbr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  <->  1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) ) ) )
83 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  <->  ( (
a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  =  1 )
84 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )
8584anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )
8685ancomd 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
) )
87 bezoutr1 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  =  1  ->  ( a  gcd  b )  =  1 ) )
8886, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n
) )  =  1  ->  ( a  gcd  b )  =  1 ) )
8988adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  =  1  -> 
( a  gcd  b
)  =  1 ) )
9083, 89syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  -> 
( a  gcd  b
)  =  1 ) )
91 simpll1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
9291zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
93 divmulap3 8405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CC  /\  a  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  =  a  <-> 
A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
9492, 25, 62, 93syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  =  a  <-> 
A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
95 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) )  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  a )
96 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  <->  A  =  ( a  x.  ( A  gcd  B ) ) )
9794, 95, 963bitr4g 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A ) )
9897biimprd 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  ->  a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
9998a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  a  =  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
10099imp32 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  a  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) ) )
101 simp2 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ZZ )
102101zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
103102ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
104 divmulap3 8405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CC  /\  b  e.  CC  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  CC  /\  ( A  gcd  B ) #  0 ) )  -> 
( ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  b  <-> 
B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
105103, 35, 62, 104syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  b  <-> 
B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
106 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  b )
107 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  <->  B  =  ( b  x.  ( A  gcd  B ) ) )
108105, 106, 1073bitr4g 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <-> 
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) )
109108biimprd 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
110109a1dd 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  b  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
111110imp32 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  b  =  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )
112100, 111oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
a  gcd  b )  =  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
113112eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( a  gcd  b
)  =  1  <->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) )
11490, 113sylibd 148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
1  =  ( ( a  x.  m )  +  ( b  x.  n ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
11582, 114sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  /\  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
116115exp32 362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
117116com34 83 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) ) )
118117com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
119118ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  -> 
( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
120119com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
121120rexlimdvva 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( A  gcd  B )  =  ( ( A  x.  m )  +  ( B  x.  n ) )  ->  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) ) )
12217, 121mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) ) )
123122impl 377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) )
124123rexlimdva 2526 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) )
125124com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) ) )
126125rexlimdva 2526 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  ( E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 ) ) )
127126impd 252 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  E. b  e.  ZZ  ( b  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
12815, 127sylbid 149 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 ) )
1292, 128mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   E.wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593   # cap 8311    / cdiv 8400   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZcz 9022    || cdvds 11420    gcd cgcd 11562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-gcd 11563
This theorem is referenced by:  divgcdcoprmex  11710
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