ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divgcdz Unicode version

Theorem divgcdz 10595
Description: An integer divided by the gcd of it and a nonzero integer is an integer. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divgcdz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )

Proof of Theorem divgcdz
StepHypRef Expression
1 gcddvds 10587 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
213adant3 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
32simpld 110 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  ||  A )
4 gcd2n0cl 10593 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
5 nnz 8528 . . . . . 6  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
6 nnne0 8211 . . . . . 6  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B )  =/=  0 )
75, 6jca 300 . . . . 5  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0 ) )
84, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0 ) )
9 simp1 939 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
10 df-3an 922 . . . 4  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  <->  ( (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0 )  /\  A  e.  ZZ )
)
118, 9, 10sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  A  e.  ZZ ) )
12 dvdsval2 10431 . . 3  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
1311, 12syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
143, 13mpbid 145 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    e. wcel 1434    =/= wne 2249   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565   0cc0 7120    / cdiv 7904   NNcn 8183   ZZcz 8509    || cdvds 10428    gcd cgcd 10570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233  ax-arch 7234  ax-caucvg 7235
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-frec 6062  df-sup 6493  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905  df-inn 8184  df-2 8242  df-3 8243  df-4 8244  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-q 8863  df-rp 8893  df-fz 9183  df-fzo 9307  df-fl 9429  df-mod 9482  df-iseq 9599  df-iexp 9650  df-cj 9955  df-re 9956  df-im 9957  df-rsqrt 10110  df-abs 10111  df-dvds 10429  df-gcd 10571
This theorem is referenced by:  cncongr2  10718
  Copyright terms: Public domain W3C validator