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Theorem dm0rn0 4580
Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
dm0rn0  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  ran  A  =  (/) )

Proof of Theorem dm0rn0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alnex 1404 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  -.  E. x E. y  x A
y )
2 excom 1570 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y  x A y  <->  E. y E. x  x A
y )
31, 2xchbinx 617 . . . . 5  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  -.  E. y E. x  x A
y )
4 alnex 1404 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  E. x  x A y  <->  -.  E. y E. x  x A
y )
53, 4bitr4i 180 . . . 4  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  A. y  -.  E. x  x A y )
6 noel 3256 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
76nbn 625 . . . . 5  |-  ( -. 
E. y  x A y  <->  ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
87albii 1375 . . . 4  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  A. x
( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
9 noel 3256 . . . . . 6  |-  -.  y  e.  (/)
109nbn 625 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x  x A y  <->  ( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
1110albii 1375 . . . 4  |-  ( A. y  -.  E. x  x A y  <->  A. y
( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
125, 8, 113bitr3i 203 . . 3  |-  ( A. x ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) )  <->  A. y ( E. x  x A y  <-> 
y  e.  (/) ) )
13 abeq1 2163 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x A y }  =  (/)  <->  A. x ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
14 abeq1 2163 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  x A y }  =  (/)  <->  A. y ( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
1512, 13, 143bitr4i 205 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x A y }  =  (/)  <->  { y  |  E. x  x A y }  =  (/) )
16 df-dm 4383 . . 3  |-  dom  A  =  { x  |  E. y  x A y }
1716eqeq1i 2063 . 2  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  { x  |  E. y  x A y }  =  (/) )
18 dfrn2 4551 . . 3  |-  ran  A  =  { y  |  E. x  x A y }
1918eqeq1i 2063 . 2  |-  ( ran 
A  =  (/)  <->  { y  |  E. x  x A y }  =  (/) )
2015, 17, 193bitr4i 205 1  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  ran  A  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 102   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   (/)c0 3252   class class class wbr 3792   dom cdm 4373   ran crn 4374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-cnv 4381  df-dm 4383  df-rn 4384
This theorem is referenced by:  rn0  4616  relrn0  4622  imadisj  4715  ndmima  4730  f00  5109  2nd0  5800
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