Theorem dm0rn0 4756

Description: An empty domain implies an empty range. For a similar theorem for whether the domain and range are inhabited, see dmmrnm 4758. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1475	. . . . . 6 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2		excom 1642	. . . . . 6 |- ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3	1, 2	xchbinx 671	. . . . 5 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4		alnex 1475	. . . . 5 |- ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5	3, 4	bitr4i 186	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6		noel 3367	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 688	. . . . 5 |- ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8	7	albii 1446	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9		noel 3367	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 688	. . . . 5 |- ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11	10	albii 1446	. . . 4 |- ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12	5, 8, 11	3bitr3i 209	. . 3 |- ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13		abeq1 2249	. . 3 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14		abeq1 2249	. . 3 |- ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4i 211	. 2 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16		df-dm 4549	. . 3 |- dom A = { x | E. y x A y }
17	16	eqeq1i 2147	. 2 |- ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18		dfrn2 4727	. . 3 |- ran A = { y | E. x x A y }
19	18	eqeq1i 2147	. 2 |- ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20	15, 17, 19	3bitr4i 211	1 |- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   (/)c0 3363   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ran crn 4540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550

This theorem is referenced by:  rn0  4795  relrn0  4801  imadisj  4901  ndmima  4916  f00  5314  f0rn0  5317  2nd0  6043  map0b  6581