ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmaddpi Unicode version

Theorem dmaddpi 6481
Description: Domain of addition on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmaddpi  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )

Proof of Theorem dmaddpi
StepHypRef Expression
1 dmres 4660 . . 3  |-  dom  (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  dom  +o  )
2 fnoa 6058 . . . . 5  |-  +o  Fn  ( On  X.  On )
3 fndm 5026 . . . . 5  |-  (  +o  Fn  ( On  X.  On )  ->  dom  +o  =  ( On  X.  On ) )
42, 3ax-mp 7 . . . 4  |-  dom  +o  =  ( On  X.  On )
54ineq2i 3163 . . 3  |-  ( ( N.  X.  N. )  i^i  dom  +o  )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  ( On  X.  On ) )
61, 5eqtri 2076 . 2  |-  dom  (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  ( On  X.  On ) )
7 df-pli 6461 . . 3  |-  +N  =  (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) )
87dmeqi 4564 . 2  |-  dom  +N  =  dom  (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) )
9 df-ni 6460 . . . . . . 7  |-  N.  =  ( om  \  { (/) } )
10 difss 3098 . . . . . . 7  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C_  om
119, 10eqsstri 3003 . . . . . 6  |-  N.  C_  om
12 omsson 4363 . . . . . 6  |-  om  C_  On
1311, 12sstri 2982 . . . . 5  |-  N.  C_  On
14 anidm 382 . . . . 5  |-  ( ( N.  C_  On  /\  N.  C_  On )  <->  N.  C_  On )
1513, 14mpbir 138 . . . 4  |-  ( N.  C_  On  /\  N.  C_  On )
16 xpss12 4473 . . . 4  |-  ( ( N.  C_  On  /\  N.  C_  On )  ->  ( N.  X.  N. )  C_  ( On  X.  On ) )
1715, 16ax-mp 7 . . 3  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  ( On  X.  On )
18 dfss 2960 . . 3  |-  ( ( N.  X.  N. )  C_  ( On  X.  On ) 
<->  ( N.  X.  N. )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  ( On  X.  On ) ) )
1917, 18mpbi 137 . 2  |-  ( N. 
X.  N. )  =  ( ( N.  X.  N. )  i^i  ( On  X.  On ) )
206, 8, 193eqtr4i 2086 1  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    = wceq 1259    \ cdif 2942    i^i cin 2944    C_ wss 2945   (/)c0 3252   {csn 3403   Oncon0 4128   omcom 4341    X. cxp 4371   dom cdm 4373    |` cres 4375    Fn wfn 4925    +o coa 6029   N.cnpi 6428    +N cpli 6429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-ni 6460  df-pli 6461
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator