Theorem dmeq 4734

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	|- ( A = B -> dom A = dom B )

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4733	. . 3 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )
2		dmss 4733	. . 3 |- ( B C_ A -> dom B C_ dom A )
3	1, 2	anim12i 336	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
4		eqss 3107	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		eqss 3107	. 2 |- ( dom A = dom B <-> ( dom A C_ dom B /\ dom B C_ dom A ) )
6	3, 4, 5	3imtr4i 200	1 |- ( A = B -> dom A = dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   C_ wss 3066   dom cdm 4534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-dm 4544

This theorem is referenced by:  dmeqi  4735  dmeqd  4736  xpid11  4757  sqxpeq0  4957  fneq1  5206  eqfnfv2  5512  offval  5982  ofrfval  5983  offval3  6025  smoeq  6180  tfrlemi14d  6223  tfr1onlemres  6239  tfrcllemres  6252  rdgivallem  6271  rdgon  6276  rdg0  6277  frec0g  6287  freccllem  6292  frecfcllem  6294  frecsuclem  6296  frecsuc  6297  ereq1  6429  fundmeng  6694  acfun  7056  ccfunen  7072  ennnfonelemj0  11903  ennnfonelemg  11905  ennnfonelemp1  11908  ennnfonelemom  11910  ennnfonelemnn0  11924  blfvalps  12543  reldvg  12806