Theorem dmfco 5482

Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
dmfco	|- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Proof of Theorem dmfco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvex 5431	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( G ` A ) e. _V )
2		opeq1 3700	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) -> <. x , y >. = <. ( G ` A ) , y >. )
3	2	eleq1d 2206	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` A ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
4	3	ceqsexgv 2809	. . . . 5 |- ( ( G ` A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
6		eqcom 2139	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) <-> ( G ` A ) = x )
7		funopfvb 5458	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) = x <-> <. A , x >. e. G ) )
8	6, 7	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( x = ( G ` A ) <-> <. A , x >. e. G ) )
9	8	anbi1d 460	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
10	9	exbidv 1797	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
11	5, 10	bitr3d 189	. . 3 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
12	11	exbidv 1797	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
13		eldm2g 4730	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. _V -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
15		eldm2g 4730	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) ) )
16		vex 2684	. . . . . 6 |- y e. _V
17		opelco2g 4702	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom G /\ y e. _V ) -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
18	16, 17	mpan2 421	. . . . 5 |- ( A e. dom G -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
19	18	exbidv 1797	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
20	15, 19	bitrd 187	. . 3 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
21	20	adantl 275	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
22	12, 14, 21	3bitr4rd 220	1 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   <.cop 3525   dom cdm 4534   o. ccom 4538   Fun wfun 5112   ` cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  ctssdccl  6989