Theorem dmfex 5312

Description: If a mapping is a set, its domain is a set. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmfex	|- ( ( F e. C /\ F : A --> B ) -> A e. _V )

Proof of Theorem dmfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5278	. . 3 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
2		dmexg 4803	. . . 4 |- ( F e. C -> dom F e. _V )
3		eleq1 2202	. . . 4 |- ( dom F = A -> ( dom F e. _V <-> A e. _V ) )
4	2, 3	syl5ib 153	. . 3 |- ( dom F = A -> ( F e. C -> A e. _V ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( F : A --> B -> ( F e. C -> A e. _V ) )
6	5	impcom 124	1 |- ( ( F e. C /\ F : A --> B ) -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   dom cdm 4539   -->wf 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fn 5126  df-f 5127

This theorem is referenced by:  fopwdom  6730