Theorem dmmulpi 7134

Description: Domain of multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmmulpi	|- dom .N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmmulpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4840	. . 3 |- dom ( .o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom .o )
2		fnom 6346	. . . . 5 |- .o Fn ( On X. On )
3		fndm 5222	. . . . 5 |- ( .o Fn ( On X. On ) -> dom .o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom .o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3274	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom .o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2160	. 2 |- dom ( .o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-mi 7114	. . 3 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4740	. 2 |- dom .N = dom ( .o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7112	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3202	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3129	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4526	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3106	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 393	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 145	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4646	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3085	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 144	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2170	1 |- dom .N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   \ cdif 3068   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   Oncon0 4285   omcom 4504   X. cxp 4537   dom cdm 4539   |` cres 4541   Fn wfn 5118   .o comu 6311   N.cnpi 7080   .N cmi 7082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-ni 7112  df-mi 7114

This theorem is referenced by: (None)