Theorem dmrnssfld 4797

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2684	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4732	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3624	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2684	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4172	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4173	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2225	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3759	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3091	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1577	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 120	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3096	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4776	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3625	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3091	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1577	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 120	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3096	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3246	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1468   e. wcel 1480   u. cun 3064   C_ wss 3066   {cpr 3523   <.cop 3525   U.cuni 3731   dom cdm 4534   ran crn 4535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545

This theorem is referenced by:  dmexg  4798  rnexg  4799  relfld  5062  relcoi2  5064