Theorem dmrnssfld 4643

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2613	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4581	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3516	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2613	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4038	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4039	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	syl5eqelr 2170	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3649	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3007	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1530	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 119	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3012	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4624	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3517	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3007	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1530	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 119	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3012	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3157	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1422   e. wcel 1434   u. cun 2980   C_ wss 2982   {cpr 3417   <.cop 3419   U.cuni 3621   dom cdm 4391   ran crn 4392

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-cnv 4399  df-dm 4401  df-rn 4402

This theorem is referenced by:  dmexg  4644  rnexg  4645  relfld  4896  relcoi2  4898