ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsnm Unicode version

Theorem dmsnm 4836
Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dmsnm  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x  x  e. 
dom  { A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dmsnm
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elvv 4448 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >. )
2 vex 2613 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
32eldm 4580 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  { A } 
<->  E. y  x { A } y )
4 df-br 3806 . . . . . 6  |-  ( x { A } y  <->  <. x ,  y >.  e.  { A } )
5 vex 2613 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
62, 5opex 4012 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
76elsn 3432 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { A }  <->  <. x ,  y >.  =  A
)
8 eqcom 2085 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  <->  A  =  <. x ,  y >. )
94, 7, 83bitri 204 . . . . 5  |-  ( x { A } y  <-> 
A  =  <. x ,  y >. )
109exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. y  x { A } y  <->  E. y  A  =  <. x ,  y >. )
113, 10bitr2i 183 . . 3  |-  ( E. y  A  =  <. x ,  y >.  <->  x  e.  dom  { A } )
1211exbii 1537 . 2  |-  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. x  x  e. 
dom  { A } )
131, 12bitri 182 1  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x  x  e. 
dom  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   _Vcvv 2610   {csn 3416   <.cop 3419   class class class wbr 3805    X. cxp 4389   dom cdm 4391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-dm 4401
This theorem is referenced by:  rnsnm  4837  dmsn0  4838  dmsn0el  4840  relsn2m  4841
  Copyright terms: Public domain W3C validator