ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsnopg Unicode version

Theorem dmsnopg 4842
Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmsnopg  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)

Proof of Theorem dmsnopg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2613 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2 vex 2613 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
31, 2opth1 4019 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  ->  x  =  A )
43exlimiv 1530 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >.  ->  x  =  A )
5 opeq1 3590 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  <. x ,  B >.  =  <. A ,  B >. )
6 opeq2 3591 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  B >. )
76eqeq1d 2091 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. x ,  B >.  = 
<. A ,  B >. ) )
87spcegv 2695 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( <. x ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  ->  E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. ) )
95, 8syl5 32 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  =  A  ->  E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. ) )
104, 9impbid2 141 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. 
<->  x  =  A ) )
111eldm2 4581 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } )
121, 2opex 4012 . . . . . 6  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1312elsn 3432 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
1413exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
1511, 14bitri 182 . . 3  |-  ( x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
16 velsn 3433 . . 3  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
1710, 15, 163bitr4g 221 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <-> 
x  e.  { A } ) )
1817eqrdv 2081 1  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   {csn 3416   <.cop 3419   dom cdm 4391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-dm 4401
This theorem is referenced by:  dmpropg  4843  dmsnop  4844  rnsnopg  4849  elxp4  4858  fnsng  4997  funprg  5000  funtpg  5001  fntpg  5006
  Copyright terms: Public domain W3C validator