Theorem dmss 4738

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	|- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Proof of Theorem dmss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3091	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	eximdv 1852	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. y <. x , y >. e. A -> E. y <. x , y >. e. B ) )
3		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
4	3	eldm2 4737	. . 3 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
5	3	eldm2 4737	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
6	2, 4, 5	3imtr4g 204	. 2 |- ( A C_ B -> ( x e. dom A -> x e. dom B ) )
7	6	ssrdv 3103	1 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1468   e. wcel 1480   C_ wss 3071   <.cop 3530   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  dmeq  4739  dmv  4755  rnss  4769  dmiin  4785  dmxpss2  4971  ssxpbm  4974  ssxp1  4975  cocnvres  5063  relrelss  5065  funssxp  5292  fvun1  5487  fndmdif  5525  fneqeql2  5529  tposss  6143  smores  6189  smores2  6191  tfrlemibfn  6225  tfrlemiubacc  6227  tfr1onlembfn  6241  tfr1onlemubacc  6243  tfr1onlemres  6246  tfrcllembfn  6254  tfrcllemubacc  6256  tfrcllemres  6259  frecuzrdgtcl  10185  frecuzrdgdomlem  10190  ennnfonelemex  11927  strleund  12047  strleun  12048  dvbssntrcntop  12822