ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Unicode version

Theorem dvdsfac 10394
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  K  ||  ( ! `  N ) )

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5203 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  K ) )
21breq2d 3799 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  ( K  ||  ( ! `  x )  <->  K  ||  ( ! `  K )
) )
32imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  (
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 x ) )  <-> 
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 K ) ) ) )
4 fveq2 5203 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  y ) )
54breq2d 3799 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( K  ||  ( ! `  x )  <->  K  ||  ( ! `  y )
) )
65imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 x ) )  <-> 
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 y ) ) ) )
7 fveq2 5203 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
87breq2d 3799 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( K  ||  ( ! `  x )  <->  K  ||  ( ! `  ( y  +  1 ) ) ) )
98imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 x ) )  <-> 
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ) ) )
10 fveq2 5203 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
1110breq2d 3799 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  ( K  ||  ( ! `  x )  <->  K  ||  ( ! `  N )
) )
1211imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 x ) )  <-> 
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 N ) ) ) )
13 nnm1nn0 8385 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
14 faccl 9748 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  e.  NN )
1513, 14syl 14 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  NN )
1615nnzd 8538 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  ZZ )
17 nnz 8440 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
18 dvdsmul2 10352 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  ||  ( ( ! `  ( K  -  1 ) )  x.  K ) )
1916, 17, 18syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) )
20 facnn2 9747 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
2119, 20breqtrrd 3813 . . . 4  |-  ( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `  K
) )
2221a1i 9 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  NN  ->  K 
||  ( ! `  K ) ) )
2317adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
24 elnnuz 8725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  <->  K  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
25 uztrn 8705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2624, 25sylan2b 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
27 elnnuz 8725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  <->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2826, 27sylibr 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
2928nnnn0d 8397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  y  e.  NN0 )
30 faccl 9748 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 y )  e.  NN )
3129, 30syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  ( ! `  y )  e.  NN )
3231nnzd 8538 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  ( ! `  y )  e.  ZZ )
3328nnzd 8538 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
3433peano2zd 8542 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
35 dvdsmultr1 10367 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( ! `  y )  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( K  ||  ( ! `  y )  ->  K  ||  ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
3623, 32, 34, 35syl3anc 1170 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  ( K  ||  ( ! `  y )  ->  K  ||  ( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
37 facp1 9743 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) )
3829, 37syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  ( ! `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) )
3938breq2d 3799 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  ( K  ||  ( ! `  ( y  +  1 ) )  <->  K  ||  (
( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
4036, 39sylibrd 167 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  NN )  ->  ( K  ||  ( ! `  y )  ->  K  ||  ( ! `  (
y  +  1 ) ) ) )
4140ex 113 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  e.  NN  ->  ( K  ||  ( ! `  y
)  ->  K  ||  ( ! `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
4241a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( K  e.  NN  ->  K 
||  ( ! `  y ) )  -> 
( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ) ) )
433, 6, 9, 12, 22, 42uzind4 8746 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  e.  NN  ->  K  ||  ( ! `  N )
) )
4443impcom 123 1  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  K  ||  ( ! `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   1c1 7033    + caddc 7035    x. cmul 7037    - cmin 7335   NNcn 8095   NN0cn0 8344   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689   !cfa 9738    || cdvds 10329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-iseq 9511  df-fac 9739  df-dvds 10330
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator