ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsmul1 Unicode version

Theorem dvdsmul1 11442
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmul1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )

Proof of Theorem dvdsmul1
StepHypRef Expression
1 zcn 9027 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 zcn 9027 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
3 mulcom 7717 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N ) )
41, 2, 3syl2anr 288 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N ) )
5 zmulcl 9075 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
6 dvds0lem 11430 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  M )  =  ( M  x.  N ) )  ->  M  ||  ( M  x.  N )
)
76ex 114 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) ) )
873com12 1170 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) ) )
95, 8mpd3an3 1301 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  M )  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N )
) )
104, 9mpd 13 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586    x. cmul 7593   ZZcz 9022    || cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  11458  3dvdsdec  11489  3dvds2dec  11490  2teven  11511  opoe  11519  omoe  11520  z4even  11540  ndvdsi  11557  mulgcd  11631  dvdsmulgcd  11640  lcmval  11671  lcmcllem  11675  lcmgcdlem  11685  qredeq  11704  cncongr2  11712  nprm  11731  exprmfct  11745  evenennn  11833
  Copyright terms: Public domain W3C validator