Theorem dvdsmultr1 11520

Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr1	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmul1 11504	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )
2	1	3adant1 999	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )
3		zmulcl 9100	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
4	3	3adant1 999	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
5		dvdstr 11519	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ M || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
6	4, 5	syld3an3 1261	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ M || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
7	2, 6	mpan2d 424	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   x. cmul 7618   ZZcz 9047   || cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1d  11521  ordvdsmul  11523  dvdsfac  11547  bezoutlembi  11682  dvdsmulgcd  11702  bezoutr  11709  lcmgcdlem  11747