ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvelimfv Unicode version

Theorem dvelimfv 1903
Description: Like dvelimf 1907 but with a distinct variable constraint on  x and  z. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
dvelimfv.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
dvelimfv.2  |-  ( ps 
->  A. z ps )
dvelimfv.3  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
dvelimfv  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)

Proof of Theorem dvelimfv
StepHypRef Expression
1 nfnae 1626 . . . 4  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
2 ax-i12 1414 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x  x  =  y  \/  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )
3 orcom 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  x  =  y  \/  A. x
( z  =  y  ->  A. x  z  =  y ) )  <->  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  \/  A. x  x  =  y ) )
43orbi2i 689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x  x  =  y  \/  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )  <->  ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  \/  A. x  x  =  y
) ) )
52, 4mpbi 137 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  \/  A. x  x  =  y
) )
6 orass 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  x  =  z  \/  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)  \/  A. x  x  =  y )  <->  ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  \/  A. x  x  =  y ) ) )
75, 6mpbir 138 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  x  =  z  \/  A. x
( z  =  y  ->  A. x  z  =  y ) )  \/ 
A. x  x  =  y )
8 nfae 1623 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  x  =  z
9 ax16ALT 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y ) )
108, 9nfd 1432 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  F/ x  z  =  y )
11 dvelimfv.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x ph )
1211nfi 1367 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x ph
1312a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  F/ x ph )
1410, 13nfimd 1493 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  F/ x ( z  =  y  ->  ph )
)
15 df-nf 1366 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/ x  z  =  y  <->  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
16 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  F/ x  z  =  y )
1712a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  F/ x ph )
1816, 17nfimd 1493 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  F/ x ( z  =  y  ->  ph ) )
1915, 18sylbir 129 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  ->  F/ x ( z  =  y  ->  ph )
)
2014, 19jaoi 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  x  =  z  \/  A. x
( z  =  y  ->  A. x  z  =  y ) )  ->  F/ x ( z  =  y  ->  ph ) )
2120orim1i 687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  x  =  z  \/  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)  \/  A. x  x  =  y )  ->  ( F/ x ( z  =  y  ->  ph )  \/  A. x  x  =  y )
)
227, 21ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( F/ x ( z  =  y  ->  ph )  \/ 
A. x  x  =  y )
23 orcom 657 . . . . . 6  |-  ( ( F/ x ( z  =  y  ->  ph )  \/  A. x  x  =  y )  <->  ( A. x  x  =  y  \/  F/ x ( z  =  y  ->  ph )
) )
2422, 23mpbi 137 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  \/  F/ x ( z  =  y  ->  ph )
)
2524ori 652 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x
( z  =  y  ->  ph ) )
261, 25nfald 1659 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x A. z ( z  =  y  ->  ph ) )
27 dvelimfv.2 . . . . 5  |-  ( ps 
->  A. z ps )
28 dvelimfv.3 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2927, 28equsalh 1630 . . . 4  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  ps )
3029nfbii 1378 . . 3  |-  ( F/ x A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  F/ x ps )
3126, 30sylib 131 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x ps )
3231nfrd 1429 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 102    \/ wo 639   A.wal 1257   F/wnf 1365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator