Theorem eceq1 6464

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	|- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3538	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	imaeq2d 4881	. 2 |- ( A = B -> ( C " { A } ) = ( C " { B } ) )
3		df-ec 6431	. 2 |- [ A ] C = ( C " { A } )
4		df-ec 6431	. 2 |- [ B ] C = ( C " { B } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2197	1 |- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   {csn 3527   "cima 4542   [cec 6427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-ec 6431

This theorem is referenced by:  eceq1d  6465  ecelqsg  6482  snec  6490  qliftfun  6511  qliftfuns  6513  qliftval  6515  ecoptocl  6516  eroveu  6520  th3qlem1  6531  th3qlem2  6532  th3q  6534  dmaddpqlem  7185  nqpi  7186  1qec  7196  nqnq0  7249  nq0nn  7250  mulnnnq0  7258  addpinq1  7272  caucvgsrlemfv  7599  caucvgsr  7610  pitonnlem1  7653  axcaucvg  7708