Theorem elfz1b 9183

Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1b	|- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )

Proof of Theorem elfz1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 9112	. 2 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
2		simpl 107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. ZZ )
3		0red 7182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 0 e. RR )
4		1red 7196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
5		zre 8436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6	3, 4, 5	3jca 1119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
8		0lt1 7303	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < 1 )
10		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 1 <_ N )
11		ltletr 7267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
12	11	imp 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) ) -> 0 < N )
13	7, 9, 10, 12	syl12anc 1168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < N )
14		elnnz 8442	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
15	2, 13, 14	sylanbrc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
16	15	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
17	16	3ad2ant3 962	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
18	17	com12 30	. . . . . 6 |- ( 1 <_ N -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
19	18	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
20	19	impcom 123	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N e. NN )
21		zre 8436	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. RR )
22		zre 8436	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
23	21, 5, 22	3anim123i 1124	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
24	23	3com23 1145	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
25		letr 7261	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
27		simpl 107	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. ZZ )
28		0red 7182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 e. RR )
29		1red 7196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 e. RR )
30	22	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. RR )
31	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < 1 )
32		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 <_ M )
33	28, 29, 30, 31, 32	ltletrd 7594	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < M )
34		elnnz 8442	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 0 < M ) )
35	27, 33, 34	sylanbrc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. NN )
36	35	ex 113	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
37	36	3ad2ant2 961	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
38	26, 37	syld 44	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> M e. NN ) )
39	38	imp 122	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> M e. NN )
40		simprr 499	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N <_ M )
41	20, 39, 40	3jca 1119	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
42		1zzd 8459	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 e. ZZ )
43		nnz 8451	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
44	43	3ad2ant2 961	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
45		nnz 8451	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
46	45	3ad2ant1 960	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N e. ZZ )
47	42, 44, 46	3jca 1119	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
48		nnge1 8129	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
49	48	3ad2ant1 960	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 <_ N )
50		simp3 941	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N <_ M )
51	47, 49, 50	jca32 303	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
52	41, 51	impbii 124	. 2 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
53	1, 52	bitri 182	1 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044   < clt 7215   <_ cle 7216   NNcn 8106   ZZcz 8432   ...cfz 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-z 8433  df-fz 9106

This theorem is referenced by:  ubmelfzo  9286