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Theorem elfz1b 9870
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 9797 . 2 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
2 simpl 108 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. ZZ )
3 0red 7767 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 0 e. RR )
4 1red 7781 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
5 zre 9058 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
63, 4, 53jca 1161 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
76adantr 274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) )
8 0lt1 7889 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
98a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < 1 )
10 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 1 <_ N )
11 ltletr 7853 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
1211imp 123 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) ) -> 0 < N )
137, 9, 10, 12syl12anc 1214 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> 0 < N )
14 elnnz 9064 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
152, 13, 14sylanbrc 413 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
1615ex 114 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
17163ad2ant3 1004 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ N -> N e. NN ) )
1817com12 30 . . . . . 6 |- ( 1 <_ N -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
1918adantr 274 . . . . 5 |- ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. NN ) )
2019impcom 124 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N e. NN )
21 zre 9058 . . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. RR )
22 zre 9058 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2321, 5, 223anim123i 1166 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
24233com23 1187 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) )
25 letr 7847 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
2624, 25syl 14 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> 1 <_ M ) )
27 simpl 108 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. ZZ )
28 0red 7767 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 e. RR )
29 1red 7781 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 e. RR )
3022adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. RR )
318a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < 1 )
32 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 1 <_ M )
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 8185 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> 0 < M )
34 elnnz 9064 . . . . . . . . 9 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 0 < M ) )
3527, 33, 34sylanbrc 413 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ 1 <_ M ) -> M e. NN )
3635ex 114 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
37363ad2ant2 1003 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 1 <_ M -> M e. NN ) )
3826, 37syld 45 . . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ N /\ N <_ M ) -> M e. NN ) )
3938imp 123 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> M e. NN )
40 simprr 521 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> N <_ M )
4120, 39, 403jca 1161 . . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) -> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
42 1zzd 9081 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 e. ZZ )
43 nnz 9073 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
44433ad2ant2 1003 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> M e. ZZ )
45 nnz 9073 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
46453ad2ant1 1002 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N e. ZZ )
4742, 44, 463jca 1161 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
48 nnge1 8743 . . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
49483ad2ant1 1002 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> 1 <_ N )
50 simp3 983 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> N <_ M )
5147, 49, 50jca32 308 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) )
5241, 51impbii 125 . 2 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 1 <_ N /\ N <_ M ) ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
531, 52bitri 183 1 |- ( N e. ( 1 ... M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N <_ M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   < clt 7800   <_ cle 7801   NNcn 8720   ZZcz 9054   ...cfz 9790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-z 9055  df-fz 9791
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  9977  cvgcmp2nlemabs  13227
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