Theorem elfzel1 9120

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the lower bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )

Proof of Theorem elfzel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9117	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 8705	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-neg 7349  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106

This theorem is referenced by:  fzdisj  9147  fzrev2i  9179  fzrev3  9180  uznfz  9196  elfzmlbm  9219  fzoval  9235  bcp1nk  9786