Theorem elfzelz 9806

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9802	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9335	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9815  fzsplit2  9830  fzdisj  9832  elfznn  9834  fznatpl1  9856  fzdifsuc  9861  fzrev2i  9866  fzrev3i  9868  elfzp12  9879  fznuz  9882  fzrevral  9885  fzshftral  9888  fznn0sub2  9905  elfzmlbm  9908  difelfznle  9912  fzosplit  9954  ser3mono  10251  iseqf1olemkle  10257  iseqf1olemklt  10258  iseqf1olemqcl  10259  iseqf1olemnab  10261  iseqf1olemab  10262  iseqf1olemmo  10265  iseqf1olemqk  10267  seq3f1olemqsumkj  10271  seq3f1olemqsumk  10272  seq3f1olemqsum  10273  seq3f1olemstep  10274  bcval2  10496  bcval4  10498  bccmpl  10500  bcp1nk  10508  bcpasc  10512  bccl2  10514  zfz1isolemiso  10582  seq3coll  10585  seq3shft  10610  sumrbdclem  11146  summodclem2a  11150  fsum0diaglem  11209  fisum0diag  11210  mptfzshft  11211  fsumrev  11212  fsumshft  11213  fsumshftm  11214  fisum0diag2  11216  binomlem  11252  binom11  11255  bcxmas  11258  arisum  11267  geo2sum  11283  cvgratnnlemabsle  11296  cvgratnnlemrate  11299  mertenslemub  11303  mertenslemi1  11304  prodfap0  11314  prodrbdclem  11340  prodmodclem2a  11345  fzm1ndvds  11554  lcmval  11744  lcmcllem  11748  lcmledvds  11751  prmdvdsfz  11819  phivalfi  11888  hashdvds  11897  phiprmpw  11898  trilpolemlt1  13234  supfz  13237  inffz  13238