ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0z Unicode version

Theorem elfzo0z 9929
Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 9927 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0z  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )

Proof of Theorem elfzo0z
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9927 . 2  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )
2 nnz 9041 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
323anim2i 1153 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
4 simp1 966 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  NN0 )
5 elnn0z 9035 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
6 0red 7735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
7 zre 9026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
87adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
9 zre 9026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
109adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
11 lelttr 7820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
13 elnnz 9032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  <->  ( B  e.  ZZ  /\  0  < 
B ) )
1413simplbi2 382 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1514adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1612, 15syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  B  e.  NN ) )
1716expd 256 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
1817impancom 258 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
195, 18sylbi 120 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
20193imp 1160 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  NN )
21 simp3 968 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
224, 20, 213jca 1146 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B ) )
233, 22impbii 125 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  <->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
241, 23bitri 183 1  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588    < clt 7768    <_ cle 7769   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZcz 9022  ..^cfzo 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator