ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo2 Unicode version

Theorem elfzo2 9226
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )

Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 551 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( (
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K
)  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
2 df-3an 922 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ ) )
32anbi1i 446 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N
) ) )
4 eluz2 8695 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
5 3ancoma 927 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
6 df-3an 922 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K ) )
74, 5, 63bitri 204 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K ) )
87anbi1i 446 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )  <->  ( (
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  <_  K
)  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
91, 3, 83bitr4i 210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
10 elfzoelz 9223 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ZZ )
11 elfzoel1 9221 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
12 elfzoel2 9222 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
1310, 11, 123jca 1119 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 elfzo 9225 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
1513, 14biadan2 444 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
16 3anass 924 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
179, 15, 163bitr4i 210 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537    < clt 7204    <_ cle 7205   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689  ..^cfzo 9218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-fz 9095  df-fzo 9219
This theorem is referenced by:  elfzouz  9227  fzolb  9228  elfzo3  9238  fzouzsplit  9254  elfzo0  9257  fzo1fzo0n0  9258  elfzo1  9265  eluzgtdifelfzo  9272  ssfzo12bi  9300  elfzonelfzo  9305  elfzomelpfzo  9306
  Copyright terms: Public domain W3C validator