ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo3 Unicode version

Theorem elfzo3 9319
Description: Express membership in a half-open integer interval in terms of the "less than or equal" and "less than" predicates on integers, resp.  K  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  K,  K  e.  ( K..^ N )  <->  K  <  N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo3  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( K..^ N ) ) )

Proof of Theorem elfzo3
StepHypRef Expression
1 3anass 924 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
2 elfzo2 9307 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) )
3 eluzelz 8779 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
4 fzolb 9309 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( K..^ N
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) )
5 3anass 924 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
64, 5bitri 182 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( K..^ N
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
76baib 862 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( K..^ N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  < 
N ) ) )
83, 7syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( K..^ N )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
98pm5.32i 442 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( K..^ N ) )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  <  N ) ) )
101, 2, 93bitr4i 210 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( K..^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5564    < clt 7285   ZZcz 8502   ZZ>=cuz 8770  ..^cfzo 9299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-ltadd 7224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-fz 9176  df-fzo 9300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator