ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicc2 Unicode version

Theorem elicc2 9037
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 7226 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 7226 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 elicc1 9023 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
5 mnfxr 7237 . . . . . . . 8  |- -oo  e.  RR*
65a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  e.  RR* )
71ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  e.  RR* )
8 simpr1 945 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR* )
9 mnflt 8934 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  <  A )
109ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  <  A )
11 simpr2 946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 8957 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> -oo  <  C )
132ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  e.  RR* )
14 pnfxr 7233 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
1514a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  -> +oo  e.  RR* )
16 simpr3 947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  <_  B )
17 ltpnf 8932 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
1817ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  < +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 8956 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  < +oo )
20 xrrebnd 8962 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( C  e.  RR  <->  ( -oo  <  C  /\  C  < +oo ) ) )
218, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  <->  ( -oo  <  C  /\  C  < +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 886 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
2322, 11, 163jca 1119 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2423ex 113 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
25 rexr 7226 . . . 4  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
26253anim1i 1125 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2724, 26impbid1 140 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
284, 27bitrd 186 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   +oocpnf 7212   -oocmnf 7213   RR*cxr 7214    < clt 7215    <_ cle 7216   [,]cicc 8990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-icc 8994
This theorem is referenced by:  elicc2i  9038  iccssre  9054  iccsupr  9065  iccneg  9087  iccshftr  9092  iccshftl  9094  iccdil  9096  icccntr  9098  iccf1o  9102
  Copyright terms: Public domain W3C validator