Theorem elnn 4514

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3115	. . 3 |- ( y = (/) -> ( y C_ om <-> (/) C_ om ) )
2		sseq1 3115	. . 3 |- ( y = x -> ( y C_ om <-> x C_ om ) )
3		sseq1 3115	. . 3 |- ( y = suc x -> ( y C_ om <-> suc x C_ om ) )
4		sseq1 3115	. . 3 |- ( y = B -> ( y C_ om <-> B C_ om ) )
5		0ss 3396	. . 3 |- (/) C_ om
6		unss 3245	. . . . . 6 |- ( ( x C_ om /\ { x } C_ om ) <-> ( x u. { x } ) C_ om )
7		vex 2684	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8	7	snss 3644	. . . . . . 7 |- ( x e. om <-> { x } C_ om )
9	8	anbi2i 452	. . . . . 6 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> ( x C_ om /\ { x } C_ om ) )
10		df-suc 4288	. . . . . . 7 |- suc x = ( x u. { x } )
11	10	sseq1i 3118	. . . . . 6 |- ( suc x C_ om <-> ( x u. { x } ) C_ om )
12	6, 9, 11	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> suc x C_ om )
13	12	biimpi 119	. . . 4 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) -> suc x C_ om )
14	13	expcom 115	. . 3 |- ( x e. om -> ( x C_ om -> suc x C_ om ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4509	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
16		ssel2 3087	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
17	16	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
18	15, 17	sylan2 284	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   u. cun 3064   C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   suc csuc 4282   omcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-suc 4288  df-iom 4500

This theorem is referenced by:  ordom  4515  peano2b  4523  nntr2  6392  nndifsnid  6396  nnaordi  6397  nnmordi  6405  fidceq  6756  nnwetri  6797  enumctlemm  6992  ennnfonelemdm  11922  ennnfonelemnn0  11924  nnti  13180  nninfsellemdc  13195  nninfsellemeq  13199  nninfsellemeqinf  13201