ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn Unicode version

Theorem elnn 4375
Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
elnn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )

Proof of Theorem elnn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3030 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  om  <->  (/)  C_  om )
)
2 sseq1 3030 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
y  C_  om  <->  x  C_  om )
)
3 sseq1 3030 . . 3  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  C_  om  <->  suc  x  C_  om ) )
4 sseq1 3030 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
y  C_  om  <->  B  C_  om )
)
5 0ss 3299 . . 3  |-  (/)  C_  om
6 unss 3157 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  om  /\  {
x }  C_  om )  <->  ( x  u.  { x } )  C_  om )
7 vex 2613 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
87snss 3535 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  <->  { x }  C_  om )
98anbi2i 445 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  <->  ( x  C_ 
om  /\  { x }  C_  om ) )
10 df-suc 4155 . . . . . . 7  |-  suc  x  =  ( x  u. 
{ x } )
1110sseq1i 3033 . . . . . 6  |-  ( suc  x  C_  om  <->  ( x  u.  { x } ) 
C_  om )
126, 9, 113bitr4i 210 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  <->  suc  x  C_  om )
1312biimpi 118 . . . 4  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  ->  suc  x  C_  om )
1413expcom 114 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  C_  om  ->  suc  x  C_  om )
)
151, 2, 3, 4, 5, 14finds 4370 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  B  C_ 
om )
16 ssel2 3004 . . 3  |-  ( ( B  C_  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
1716ancoms 264 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  C_  om )  ->  A  e.  om )
1815, 17sylan2 280 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434    u. cun 2981    C_ wss 2983   (/)c0 3268   {csn 3417   suc csuc 4149   omcom 4360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-uni 3623  df-int 3658  df-suc 4155  df-iom 4361
This theorem is referenced by:  ordom  4376  peano2b  4384  nndifsnid  6168  nnaordi  6169  nnmordi  6177  fidceq  6426  nnwetri  6461
  Copyright terms: Public domain W3C validator