ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrealeu Unicode version

Theorem elrealeu 7060
Description: The real number mapping in elreal 7059 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
elrealeu  |-  ( A  e.  RR  <->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elrealeu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7059 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
21biimpi 118 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
3 eqtr3 2101 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >. )
4 0r 6989 . . . . . . . . . 10  |-  0R  e.  R.
5 opthg 4001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <-> 
( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
64, 5mpan2 416 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  <->  (
x  =  y  /\  0R  =  0R )
) )
76ad2antlr 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <->  ( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
83, 7syl5ib 152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  ( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
9 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  0R  =  0R )  ->  x  =  y )
108, 9syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  x  =  y ) )
1110ralrimiva 2435 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  ->  A. y  e.  R.  ( ( <. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A )  ->  x  =  y )
)
1211ralrimiva 2435 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A. x  e.  R.  A. y  e. 
R.  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  x  =  y ) )
13 opeq1 3578 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >. )
1413eqeq1d 2090 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( <. x ,  0R >.  =  A  <->  <. y ,  0R >.  =  A ) )
1514rmo4 2786 . . . 4  |-  ( E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  <->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
( <. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A )  ->  x  =  y ) )
1612, 15sylibr 132 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
)
17 reu5 2567 . . 3  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  <-> 
( E. x  e. 
R.  <. x ,  0R >.  =  A  /\  E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
) )
182, 16, 17sylanbrc 408 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
)
19 reurex 2568 . . 3  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  ->  E. x  e.  R.  <.
x ,  0R >.  =  A )
2019, 1sylibr 132 . 2  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  ->  A  e.  RR )
2118, 20impbii 124 1  |-  ( A  e.  RR  <->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   E!wreu 2351   E*wrmo 2352   <.cop 3409   R.cnr 6549   0Rc0r 6550   RRcr 7042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-enr 6965  df-nr 6966  df-0r 6970  df-r 7053
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7123  axcaucvglemval  7125
  Copyright terms: Public domain W3C validator