Theorem elrege0 9752

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	|- ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7759	. 2 |- 0 e. RR
2		elicopnf 9745	. 2 |- ( 0 e. RR -> ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   +oocpnf 7790   <_ cle 7794   [,)cico 9666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-ico 9670

This theorem is referenced by:  rge0ssre  9753  0e0icopnf  9755  ge0addcl  9757  ge0mulcl  9758  fsumge0  11221