Theorem elrng 4554

Description: Membership in a range. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elrng	|- ( A e. V -> ( A e. ran B <-> E. x x B A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem elrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn2g 4553	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B ) )
2		df-br 3794	. . 3 |- ( x B A <-> <. x , A >. e. B )
3	2	exbii 1537	. 2 |- ( E. x x B A <-> E. x <. x , A >. e. B )
4	1, 3	syl6bbr 196	1 |- ( A e. V -> ( A e. ran B <-> E. x x B A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   E.wex 1422   e. wcel 1434   <.cop 3409   class class class wbr 3793   ran crn 4372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-cnv 4379  df-dm 4381  df-rn 4382

This theorem is referenced by:  relelrnb  4600