Theorem elrpd 9481

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
elrpd.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
elrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem elrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		elrpd.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		elrp 9443	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 413	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7619   0cc0 7620   < clt 7800   RR+crp 9441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-rp 9442

This theorem is referenced by:  mul2lt0rgt0  9547  mul2lt0np  9550  zltaddlt1le  9789  modqval  10097  ltexp2a  10345  leexp2a  10346  expnlbnd2  10417  resqrexlem1arp  10777  resqrexlemp1rp  10778  resqrexlemcalc2  10787  resqrexlemcalc3  10788  resqrexlemgt0  10792  resqrexlemglsq  10794  rpsqrtcl  10813  absrpclap  10833  rpmaxcl  10995  rpmincl  11009  xrminrpcl  11043  xrbdtri  11045  mulcn2  11081  reccn2ap  11082  climge0  11094  divcnv  11266  georeclim  11282  cvgratnnlembern  11292  cvgratnnlemsumlt  11297  cvgratnnlemfm  11298  cvgratnnlemrate  11299  cvgratnn  11300  cvgratz  11301  rpefcl  11391  efltim  11404  ef01bndlem  11463  bdmopn  12673  mulcncflem  12759  ivthinclemlopn  12783  ivthinclemuopn  12785  dveflem  12855  pilem3  12864  tanrpcl  12918  cosordlem  12930