ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz1 Unicode version

Theorem eluz1 9298
Description: Membership in the upper set of integers starting at  M. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )

Proof of Theorem eluz1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzval 9296 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  =  { k  e.  ZZ  |  M  <_  k } )
21eleq2d 2187 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  N  e.  { k  e.  ZZ  |  M  <_  k } ) )
3 breq2 3903 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  ( M  <_  k  <->  M  <_  N ) )
43elrab 2813 . 2  |-  ( N  e.  { k  e.  ZZ  |  M  <_ 
k }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
52, 4syl6bb 195 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   {crab 2397   class class class wbr 3899   ` cfv 5093    <_ cle 7769   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-neg 7904  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  eluz2  9300  eluz1i  9301  eluz  9307  uzid  9308  uzss  9314  eluzp1m1  9317  eluzadd  9322  eluzsub  9323  raluz  9341  rexuz  9343  caucvgrelemcau  10720  caucvgre  10721  algcvga  11659
  Copyright terms: Public domain W3C validator