ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2 Unicode version

Theorem eluz2 9300
Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show  M  e.  ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9299 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 simp1 966 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 eluz1 9298 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
4 ibar 299 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )
) ) )
53, 4bitrd 187 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) ) )
6 3anass 951 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
75, 6syl6bbr 197 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
81, 2, 7pm5.21nii 678 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093    <_ cle 7769   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-neg 7904  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  eluzuzle  9302  eluzelz  9303  eluzle  9306  uztrn  9310  eluzp1p1  9319  uznn0sub  9325  uz3m2nn  9336  1eluzge0  9337  2eluzge1  9339  raluz2  9342  rexuz2  9344  peano2uz  9346  nn0pzuz  9350  uzind4  9351  nn0ge2m1nnALT  9378  elfzuzb  9768  uzsubsubfz  9795  ige2m1fz  9858  4fvwrd4  9885  elfzo2  9895  elfzouz2  9906  fzossrbm1  9918  fzossfzop1  9957  ssfzo12bi  9970  elfzonelfzo  9975  elfzomelpfzo  9976  fzosplitprm1  9979  fzostep1  9982  fzind2  9984  flqword2  10030  fldiv4p1lem1div2  10046  uzennn  10177  seq3split  10220  iseqf1olemqk  10235  seq3f1olemqsumkj  10239  seq3f1olemqsumk  10240  seq3f1olemqsum  10241  bcval5  10477  seq3coll  10553  seq3shft  10578  resqrexlemoverl  10761  resqrexlemga  10763  fsum3cvg3  11133  fisumrev2  11183  isumshft  11227  cvgratnnlemseq  11263  cvgratnnlemabsle  11264  cvgratnnlemsumlt  11265  cvgratz  11269  oddge22np1  11505  nn0o  11531  dvdsnprmd  11733  prmgt1  11739  oddprmgt2  11741  oddprmge3  11742  strleund  11974  strleun  11975
  Copyright terms: Public domain W3C validator