ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2 Unicode version

Theorem eluz2 8575
Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show  M  e.  ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 8574 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 simp1 915 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 eluz1 8573 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
4 ibar 289 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )
) ) )
53, 4bitrd 181 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) ) )
6 3anass 900 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
75, 6syl6bbr 191 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
81, 2, 7pm5.21nii 630 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   ` cfv 4930    <_ cle 7120   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938  df-ov 5543  df-neg 7248  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  eluzuzle  8577  eluzelz  8578  eluzle  8581  uztrn  8585  eluzp1p1  8594  uznn0sub  8600  uz3m2nn  8611  1eluzge0  8612  2eluzge0OLD  8614  2eluzge1  8615  raluz2  8618  rexuz2  8620  peano2uz  8622  nn0pzuz  8626  uzind4  8627  nn0ge2m1nnALT  8650  elfzuzb  8986  uzsubsubfz  9013  ige2m1fz  9074  elfz0addOLD  9082  4fvwrd4  9099  elfzo2  9109  elfzouz2  9119  fzossrbm1  9131  fzossfzop1  9170  ssfzo12bi  9183  elfzonelfzo  9188  elfzomelpfzo  9189  fzosplitprm1  9192  fzostep1  9195  fzind2  9197  flqword2  9239  fldiv4p1lem1div2  9255  ibcval5  9631  resqrexlemoverl  9848  resqrexlemga  9850  oddge22np1  10193  nn0o  10219
  Copyright terms: Public domain W3C validator