ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2b1 Unicode version

Theorem eluz2b1 8821
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b1
StepHypRef Expression
1 2z 8512 . . 3  |-  2  e.  ZZ
21eluz1i 8759 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
3 1z 8510 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 zltp1le 8538 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
53, 4mpan 415 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
6 df-2 8217 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
76breq1i 3812 . . . 4  |-  ( 2  <_  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N )
85, 7syl6bbr 196 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  <->  2  <_  N ) )
98pm5.32i 442 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
102, 9bitr4i 185 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   1c1 7096    + caddc 7098    < clt 7267    <_ cle 7268   2c2 8208   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753
This theorem is referenced by:  eluz2gt1  8822  eluz2b2  8823  uz2m1nn  8825  uz2mulcl  8828  prmind2  10709  2prm  10716  3prm  10717  sqnprm  10724
  Copyright terms: Public domain W3C validator