Theorem eluzdc 8767

Description: Membership of an integer in an upper set of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eluzdc	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem eluzdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 8466	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
2		eluz 8702	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
3	2	biimprd 156	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
4		zltnle 8467	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
5	4	ancoms 264	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
6	2	notbid 625	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) <-> -. M <_ N ) )
7	6	biimprd 156	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N -> -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
8	5, 7	sylbid 148	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
9	3, 8	orim12d 733	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N \/ N < M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
10		df-dc 777	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11	9, 10	syl6ibr 160	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N \/ N < M ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
12	1, 11	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662  DECID wdc 776   e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926   < clt 7204   <_ cle 7205   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690

This theorem is referenced by:  fzneuz  9183  sumdc  10322