ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzdc Unicode version

Theorem eluzdc 9372
Description: Membership of an integer in an upper set of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
eluzdc  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )

Proof of Theorem eluzdc
StepHypRef Expression
1 zlelttric 9067 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
2 eluz 9307 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
32biimprd 157 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
4 zltnle 9068 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
54ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
62notbid 641 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  -.  M  <_  N )
)
76biimprd 157 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  <_  N  ->  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
85, 7sylbid 149 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  ->  -.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
93, 8orim12d 760 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  N  \/  N  <  M )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  -.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) ) )
10 df-dc 805 . . 3  |-  (DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
119, 10syl6ibr 161 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  N  \/  N  <  M )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) ) )
121, 11mpd 13 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682  DECID wdc 804    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093    < clt 7768    <_ cle 7769   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  fzneuz  9849  sumdc  11095  summodclem2a  11118  zsumdc  11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator